1394. Дана прямоугольная трапеция ABCD
, в которой \angle C=\angle B=90^{\circ}
. На стороне AD
как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону BC
в точках M
и N
. Докажите, что BM\cdot MC=AB\cdot CD
.
Указание. Треугольники CMD
и BAM
подобны.
Решение. Поскольку \angle AMD=90^{\circ}
, то
\angle AMB+\angle CMD=90^{\circ},
поэтому \angle CMD=\angle BAM
. Значит, прямоугольные треугольники треугольники CMD
и BAM
подобны. Следовательно,
\frac{CD}{BM}=\frac{CM}{AB},~\mbox{или}~BM\cdot MC=AB\cdot CD.