13942. Окружность радиуса r
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что \frac{1}{r}\geqslant\frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}
.
Решение. Пусть I
— центр окружности. Тогда
AD\cdot AE\geqslant AD\cdot AE\sin\angle A=2S_{\triangle DAE}=2S_{\triangle AID}+2S_{\triangle AIE}=AD\cdot r+AE\cdot r,
откуда
r\leqslant\frac{AD\cdot AE}{AD+AE}.
Следовательно,
\frac{1}{r}\geqslant\frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}.
Что и требовалось доказать.