13944. Дан остроугольный треугольник DEF
и окружности \Gamma_{1}
с диаметром DF
и \Gamma_{2}
с диаметром DE
; EY
и FZ
— высоты треугольника DEF
. Луч EY
пересекает окружность \Gamma_{1}
последовательно в точках P
и R
, а луч FZ
пересекает окружность \Gamma_{2}
последовательно в точках Q
и S
. Докажите, что точки P
, Q
, R
и S
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle EDF=\alpha
, DF=y
, DE=z
. Пусть O_{1}
— центр окружности \Gamma_{1}
.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ей пополам, поэтому треугольник PDR
равнобедренный, DR=DP
. Из прямоугольного треугольника DYE
получаем
DY=DE\cos\alpha=z\cos\alpha,
а так как
O_{1}P=O_{1}D=\frac{y}{2},
то из прямоугольного треугольника PYO_{1}
получаем
PY^{2}=O_{1}P^{2}-O_{1}Y^{2}=\frac{y^{2}}{4}-\left(\frac{y}{2}-z\cos\alpha\right)^{2}=yz\cos\alpha-z^{2}\cos^{2}\alpha
Тогда
DR^{2}=DP^{2}=PY^{2}+DY^{2}=
=(yz\cos\alpha-z^{2}\cos^{2}\alpha)+z^{2}\cos^{2}\alpha=yz\cos\alpha.
Аналогично,
DQ=DS=yz\cos\alpha.
Значит, точки P
, Q
, R
и S
на окружности с центром D
и радиусом yz\cos\alpha
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 2, задача CC57, с. 53
Источник: Канадские математические олимпиады. — 2002