13948. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
отмечены точки E
и F
соответственно, причём \frac{BE}{EC}=\frac{CF}{FD}
. Отрезки AE
и AF
пересекают диагональ BD
в точках K
и L
соответственно.
а) Докажите, что площадь треугольника AKL
равна сумме площадей треугольников BKE
и DLF
.
б) Найдите отношение площади параллелограмма ABCD
к площади четырёхугольника AECF
.
Ответ. б) 2.
Решение. Обозначим \frac{BE}{EC}=\frac{CF}{FD}=x
. Пусть S_{ABCD}=2S
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABE}}{S}=\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BE}{BC}=\frac{x}{x+1},
\frac{S_{\triangle AFD}}{S}=\frac{S_{\triangle AFD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{DF}{CD}=\frac{1}{x+1},
поэтому
S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AFD}=\frac{x}{x+1}\cdot S+\frac{1}{x+1}\cdot S=S=\frac{1}{2}S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}=S.
Кроме того
S_{\triangle ABE}=S_{\triangle BKE}+S_{\triangle AKB}~\mbox{и}~S_{\triangle AFD}=S_{\triangle ALD}+S_{\triangle DLF},
а также
S_{\triangle ABD}=S_{\triangle AKB}+S_{\triangle AKL}+S_{\triangle ALD}.
Значит,
S_{\triangle AKB}+S_{\triangle AKL}+S_{\triangle ADL}=S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AFD}=
=(S_{\triangle AKB}+S_{\triangle BKE})+(S_{\triangle ADL}+S_{\triangle DLF}).
Следовательно,
S_{\triangle AKL}=S_{\triangle BKE}+S_{\triangle DLF}.
Что и требовалось доказать.
При этом
S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AFD}+S_{AECF}=2S~\Rightarrow~S_{AECF}=2S-(S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AFD})=
=2S-S=S.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{AECF}}=\frac{2S}{S}=2.