1395. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что площадь треугольника ODC
(O
— точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников BOC
и AOD
. Докажите, что ABCD
— трапеция или параллелограмм.
Указание. \frac{S_{\triangle ODC}}{S_{\triangle BOC}}=\frac{DO}{OB}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
\frac{S_{\triangle ODC}}{S_{\triangle BOC}}=\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle ODC}}.
В то же время
\frac{S_{\triangle ODC}}{S_{\triangle BOC}}=\frac{DO}{OB},~\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle ODC}}=\frac{AO}{OC},
поэтому \frac{OD}{OB}=\frac{AO}{OC}
. Значит, треугольники BOC
и DOA
подобны. Следовательно, \angle BCO=\angle DAO
. Поэтому BC\parallel AD
.