13950. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, у которого угол при вершине A
больше 60^{\circ}
. Точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём \angle HMB=\angle HNC=60^{\circ}
, а O
— центр описанной окружности треугольника HMN
. Вершина D
равностороннего треугольника DBC
и точка A
расположены по одну сторону от прямой BC
. Докажите, что точки H
, O
и D
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
.
Рассмотрим поворот на 60^{\circ}
вокруг точки B
, переводящий точку D
в точку C
. Пусть при этом повороте точка H
переходит в H'
. Тогда треугольник BHH'
равносторонний. По теореме синусов
\frac{HM}{HH'}=\frac{HM}{HB}=\frac{\sin\angle ABB_{1}}{\sin\angle HMB}=\frac{\sin(90^{\circ}-\alpha)}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sin\angle ACC_{1}}{\sin\angle HNC}=\frac{HN}{HC}.
Кроме того,
\angle MHN=\angle B_{1}HC_{1}-\angle MHC_{1}-\angle NHB_{1}=
=(180^{\circ}-\alpha)-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}-\alpha
и
\angle H'CH=\angle BHC-\angle BHH'=(180^{\circ}-\alpha)-60^{\circ}=120^{\circ}-\alpha=\angle MHN.
Значит, треугольники MHN
и H'HC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
\angle HH'C=\angle BH'C-\angle BHH'=\angle BH'C-60^{\circ},
поэтому
\angle HNM=\angle HC'H=180^{\circ}-\angle H'HC-\angle HH'C=
=180^{\circ}-(\angle BHC-60^{\circ})-(\angle BHD-60^{\circ})=
=300^{\circ}-\angle BHC-\angle BHD=(360^{\circ}-\angle BHC-\angle BHD)-60^{\circ}=
=\angle CHD-60^{\circ}.
Докажем равенство углов MHO
и MHD
, откуда будет следовать утверждение задачи.
Поскольку вписанный угол HNM
вдвое меньше соответствующего центрального угла HOM
описанной окружности треугольника HNM
, получаем
\angle MHO=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle HOM)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle HOM=90^{\circ}-\angle HNM=
=90^{\circ}-\angle HCH'=90^{\circ}-(\angle CHD-60^{\circ})=150^{\circ}-\angle CHD=
=180^{\circ}-(30^{\circ}+\angle CHD)=180^{\circ}-(\angle MHC_{1}+\angle CHD)=
=180^{\circ}-\angle C_{1}HD-30^{\circ}=\angle C_{1}HD-30^{\circ}=\angle MHD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 5, задача OC125, с. 199
Источник: Китайские математические олимпиады. — 2012