13951. Полуокружность с центром O
касается сторон AD
, DC
и CB
четырёхугольника ABCD
, причём O
— середина стороны AB
. Докажите, что AB^{2}=4AD\cdot BC
.
Решение. Пусть полуокружность касается сторон AD
, DC
и CB
четырёхугольника ABCD
в точках E
, F
и G
соответственно. Тогда прямоугольные треугольники AOE
и BOG
равны по катету и гипотенузе. Аналогично, равны прямоугольные треугольники DOE
и DOF
, а также COG
и COF
.
Обозначим \angle AOE=\angle BOG=x
, \angle DOE=\angle DOF=y
и \angle COG=\angle COF=z
. Тогда
2x+2y+2z=180^{\circ}~\Rightarrow~x+y+z=90^{\circ},
поэтому
\angle OAD=\angle OAE=90^{\circ}-z=x+y,~\angle ADO=90^{\circ}-x=y+z,
\angle OBG=\angle OBC=90^{\circ}-z=x+y,~\angle OCB=90^{\circ}-y=x+z.
Значит, треугольники AOD
и BCO
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AD}{OB}=\frac{OA}{BC}~\Rightarrow~OA\cdot OB=AD\cdot BC~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}AB=AD\cdot BC~\Rightarrow~AB^{2}=4AD\cdot BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 7, задача CC81, с. 278