13954. Точка H
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Около треугольников ABH
и ACH
описаны окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
. Прямая l
, проходящая через точку H
, вторично пересекает эти окружности в точках B'
и C'
соответственно, а прямые BB'
и CC'
пересекаются в точке H'
. Докажите, что H'C\cdot HC'=kH'B\cdot BH'
для некоторой константы k
, не зависящей от прямой l
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, \angle CBH'=\beta'
и \angle BCH'=\gamma'
. Тогда
\sin\angle HB'A=\sin\angle HBA=\sin\beta,~\sin\angle B'AH=\sin\angle B'BH=\sin\beta',
\sin\angle HAC'=\sin\angle HCC'=\sin\gamma',~\sin\angle AC'H=\sin\angle ACH=\sin\gamma.
По теореме синусов из треугольника BH'C
получаем
\frac{H'C}{BC}=\frac{\sin\beta'}{\sin\angle CH'B},~\frac{H'B}{BC}=\frac{\sin\gamma'}{\sin\angle CH'B},
из треугольника AHC'
—
\frac{HC'}{AH}=\frac{\sin\gamma'}{\sin\gamma},~
из треугольника AB'H
—
\frac{HB'}{AH}=\frac{\sin\beta'}{\sin\beta}.
Значит,
H'C\cdot HC'=\left(\frac{BC\sin\beta'}{\sin\angle CH'B}\right)\left(\frac{AH\sin\gamma'}{\sin\gamma}\right)=BC\cdot AH\cdot\frac{\sin\beta'}{\sin\angle CH'B}\cdot\frac{\sin\gamma'}{\sin\gamma}
и
H'B\cdot HB'=\left(\frac{BC\sin\gamma'}{\sin\angle CH'B}\right)\left(\frac{AH\sin\beta'}{\sin\beta}\right)=BC\cdot AH\cdot\frac{\sin\gamma'}{\sin\angle CH'B}\cdot\frac{\sin\beta'}{\sin\beta}.
Следовательно, H'C\cdot HC'=kH'B\cdot BH'
, т. е. при k=1
это равенство не зависит от прямой l
.
Примечание. В оригинальном условии точка H
— основание высоты треугольника ABC
, а \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
— окружности с диаметрами AB
и AC
соответственно. Выше приведено решение для более общего случая.