13955. Дан описанный четырёхугольник ABCD
, в котором
\angle ABC+\angle ADC\lt180^{\circ}~\mbox{и}~\angle ABD+\angle ACB=\angle ACD+\angle ADB.
Докажите, что одна из диагоналей проходит через середину другой.
Решение. Из неравенства
\angle ABC+\angle ADC\lt180^{\circ}
следует, что описанная окружность треугольника ABC
пересекает диагональ BD
в некоторой точке E
. Поскольку из условия следует также, что
\angle ACB-\angle ADB=\angle ACD-\angle ABD,
то, применив теорему о вписанных углах, получим
\angle EAD=180^{\circ}-\angle DEA-\angle ADE=\angle AEB-\angle ADE=
=\angle ACB-\angle ADB=\angle ACD-\angle ABD=\angle ACD-\angle ECA=\angle DCE.
По теореме синусов из треугольников AED
, CDE
и ABC
получаем
\frac{AD}{\sin\angle DEA}=\frac{DE}{\sin\angle EAD}=\frac{DE}{\sin\angle DCE}=\frac{CD}{\sin\angle CED},
\frac{AB}{\sin\angle DEA}=\frac{AB}{\sin\angle AEB}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{BC}{\sin\angle BAC}=\frac{BC}{\sin\angle BEC}=\frac{BC}{\sin\angle CED}.
Таким образом,
\frac{AD}{\sin\angle DEA}=\frac{CD}{\sin\angle CED},~\frac{AB}{\sin\angle DEA}=\frac{BC}{\sin\angle CED}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим
\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC},~\mbox{или}~AB\cdot CD=BC\cdot AD,
а так как по условию четырёхугольник четырёхугольник ABCD
описанный, то
AB+CD=BC+AD.
Значит, либо AB=BC
и CD=AD
, либо AB=AD
и BC=CD
. В первом из этих случаев BD
— серединный перпендикуляр к AC
, следовательно, диагональ BD
проходит через середину диагонали AC
. Во втором случае AC
— серединный перпендикуляр к BD
, следовательно, диагональ AC
проходит через середину диагонали BD
.
Отсюда следует утверждение задачи.