13956. На дуге BC
окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC
, отмечена точка D
. Точка E
симметрична точке B
относительно прямой CD
. Докажите, что точки A
, D
и E
лежат на одной прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка D
лежит на меньшей дуге BC
описанной окружности треугольника ABC
).
Четырёхугольник ABDC
вписанный, поэтому
\angle BDC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Вписанные углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ADB=\angle ACB=\angle ACD=60^{\circ},
а так как из симметрии
\angle CDE=\angle CDB=120^{\circ},
то
\angle BDE=360^{\circ}-\angle CDB-\angle CDE=360^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}=120^{\circ}.
Значит,
\angle ADB+\angle BDE=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, точки A
, D
и E
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка D
на большей дуге BC
и отлична от A
. Если же точка D
совпадает с A
, утверждение очевидно.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2014, № 10, задача CC96, с. 451
Источник: Польские математические олимпиады. — 2012