13958. Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно AC
и AB
треугольника ABC
. Отрезки BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке O
. Прямая, проходящая через точку O
, пересекает отрезки BC_{1}
и B_{1}C
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что \frac{BX}{XC_{1}}\gt\frac{B_{1}Y}{YC}
.
Решение. Через вершину C
проведём прямую l
, параллельную AB
, и продолжим отрезки BB_{1}
и XY
до пересечения с l
в точках B_{2}
и Z
соответственно. Через точку B_{1}
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть она пересекает l
в точке U
.
Все точки прямой l
, за исключением C
, лежат вне треугольника ABC
. Точка B_{1}
лежит между O
и B_{1}
, поэтому точка U
лежит между Z
и B_{2}
. Значит, B_{2}Z\gt UZ
.
Треугольник BXO
подобен треугольнику B_{2}ZO
, а треугольник C_{1}XO
— треугольнику CZO
, поэтому
\frac{BX}{B_{2}Z}=\frac{XO}{ZO}~\mbox{и}~\frac{XC_{1}}{ZC}=\frac{XO}{ZO}~\Rightarrow~\frac{BX}{XC_{1}}=\frac{B_{2}Z}{ZC},
а так как YZ\parallel B_{1}U
, то \frac{B_{1}Y}{YC}=\frac{UZ}{ZC}
. Следовательно,
\frac{BX}{XC_{1}}=\frac{B_{2}Z}{ZC}\gt\frac{UZ}{ZC}=\frac{B_{1}Y}{YC}.
Что и требовалось доказать.