13959. Точки F
, A
, B
и G
лежат на одной прямой в указанном порядке, причём отрезки AG
и BF
равны диагонали правильного пятиугольника ABCDE
. Сравните площадь треугольника FGD
и пятиугольника ABCDE
.
Ответ. S_{\triangle FGD}=S_{ABCDE}
.
Решение. Опишем окружность около правильного пятиугольника ABCDE
. Поскольку равны хорды AB
и CD
, то равны опирающиеся на них углы, т. е. \angle ADB=\angle CBD
. Значит, AD\parallel BC
. Аналогично, каждая сторона правильного пятиугольника параллельна диагонали, не имеющей с ней общих вершин.
Поскольку BF\parallel CE
и BF=CE
, то BCEF
— параллелограмм, поэтому FE\parallel AD
. Значит, S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ADE}
. Аналогично, S_{\triangle BDG}=S_{\triangle BDC}
. Следовательно,
S_{ABCDE}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BDC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle BDG}=S_{\triangle FGD}.