1396. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. Точки K
, M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что MN=\frac{BC\cdot AP}{2R}
.
Решение. Из точек M
и N
отрезок AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AP
. По теореме синусов из треугольников AMN
и ABC
получаем, что
\sin\angle BAC=\sin\angle MAN=\frac{MN}{AP},~\sin\angle BAC=\frac{BC}{2R},
поэтому \frac{MN}{AP}=\frac{BC}{2R}
. Следовательно, MN=\frac{BC\cdot AP}{2R}
.
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — с. 220
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.99, с. 117
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.120, с. 116