13963. Расстояния от точки P
, расположенной внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
, до вершин A
, B
, C
и D
равны соответственно 2, 3, 5 и 6. Найдите наибольшую возможную площадь такого четырёхугольника.
Ответ. 31,5.
Решение. Площадь четырёхугольника ABCD
равна сумме площадей треугольников, на которые четырёхугольник разбивается отрезками PA
, PB
, PC
и PB
. Значит,
S_{ABCD}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle BPC}+S_{\triangle CPD}+S_{\triangle DPA}=
=\frac{1}{2}PA\cdot PB\sin\angle APB+\frac{1}{2}PB\cdot PC\sin\angle BPC+
+\frac{1}{2}CP\cdot PD\sin\angle CPD+\frac{1}{2}PD\cdot PA\sin\angle DPA\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}PA\cdot PB+\frac{1}{2}PB\cdot PC+\frac{1}{2}CP\cdot PD+\frac{1}{2}PD\cdot PA=
=\frac{1}{2}\cdot2\cdot3+\frac{1}{2}\cdot3\cdot5+\frac{1}{2}\cdot5\cdot6+\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=
=3+7{,}5+15+6=31{,}5,
причём равенство достигается в случае, когда
\angle APB+\angle BPC+\angle DPC+\angle APD=90^{\circ}.
Такой четырёхугольник существует. Действительно, через произвольную точку P
проведём две перпендикулярные прямые. На одной из них по разные стороны от точки P
отложим отрезки PA=2
и PC=5
, а на другой — отрезки PB=3
и PD=6
.
Следовательно, наибольшая возможная площадь четырёхугольника из условия задачи равна 31,5.