13964. Высота BH
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом B
пересекает биссектрисы AD
и CE
треугольника ABC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков QD
и PE
, параллельна прямой BC
.
Решение. Пусть E'
и D'
— проекции точек соответственно E
и D
на прямую BC
, а P'
— проекция точки P
на прямую BC
. Лучи CA
и CB
симметричны относительно биссектрисы CE
угла ACB
, а так как точка P
лежит на этой биссектрисе, то она равноудалена от сторон угла ACB
, т. е. PP'=PH
. Значит, точки P'
и H
симметричны относительно прямой CE
. Аналогично, точки B
и E'
симметричны относительно прямой CE
. Значит, BP'=HE'
, поэтому
BP=\sqrt{PP'^{2}+P'B^{2}}=\sqrt{PH^{2}+HE'^{2}}=PE'.
Поскольку BE=E'E
и PB=HE'
, прямая CE
— серединный перпендикуляр к отрезку BE'
. Значит, точка U
пересечения CE
и BE'
— середина отрезка BE'
. Аналогично, точка V
пересечения QD
и BD'
— середина отрезка BD'
. Тогда треугольники BUP
и E'UE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, U
— середина отрезка PE
. Аналогично, V
— середина отрезка QD
.
Отрезок UV
— средняя линия треугольника D'BE'
, поэтому UV\parallel E'D'
. Следовательно, UV\parallel BC
. Что и требовалось доказать.