13966. Биссектрисы прямоугольного треугольника ABC
, проведённые из вершин острых углов A
и B
, равны l_{a}
и l_{b}
соответственно, а площадь треугольника равна S
. Докажите, что l_{a}l_{b}\geqslant4S(2-\sqrt{2})
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Тогда
l_{a}=\frac{AC}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{b}{\cos\frac{\alpha}{2}},~l_{b}=\frac{BC}{\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{a}{\cos\frac{\beta}{2}},~S=\frac{ab}{2},
а так как \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\leqslant1
, то
l_{a}l_{b}=\frac{ab}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}=\frac{2ab}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}+\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}=\frac{4S}{\cos45^{\circ}+\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\geqslant
\geqslant\frac{4S}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}=\frac{8S}{2+\sqrt{2}}=4S(2-\sqrt{2}).
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 9, задача 3984, с. 404