13968. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой в указанном порядке. На каждой окружности \Gamma
, проходящей через точки B
и C
, отметили точку её пересечения D
с серединным перпендикуляром к хорде BC
. Пусть E
— вторая точка пересечения прямой AD
с окружностью \Gamma
. Докажите, что отношение BE:EC
для всех окружностей \Gamma
постоянно.
Решение. Из вписанного четырёхугольника BCDE
получаем
\angle AEB=180^{\circ}-\angle BED=\angle BCD=\angle ACD,
поэтому, треугольники ABE
и ADC
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Значит, \frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AD}
. Кроме того, поскольку
\angle ACE=\angle BCE=\angle BDE,
то треугольники ACE
и ADB
с общим углом при вершине A
тоже подобны по двум углам, поэтому, учитывая, что CD=BD
, получим
\frac{CD}{CE}=\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AC}.
Значит,
\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{CD}\cdot\frac{CD}{CE}=\frac{AB}{AD}\cdot\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AC}.
Следовательно, отношение \frac{BE}{EC}
не зависит от окружности \Gamma
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2015, № 10, задача OC200, с. 429
Источник: Австрийские математические олимпиады. — 2013