13976. Углы остроугольного треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}+\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\cos\beta}\geqslant\frac{3}{2}.
Решение. Поскольку треугольник остроугольный,
\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}=\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}\cdot\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{\tg\alpha+\tg\beta}=
=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\gamma}\cdot\frac{1}{\tg\alpha+\tg\beta}=
=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\gamma}\cdot\frac{1}{\tg\alpha+\tg\beta}=\frac{\sin(180^{\circ}-\gamma)}{\cos\gamma}\cdot\frac{1}{\tg\alpha+\tg\beta}=
=\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}\cdot\frac{1}{\tg\alpha+\tg\beta}=\frac{\tg\gamma}{\tg\alpha+\tg\beta}.
Аналогично,
\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\cos\alpha}=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta+\tg\gamma},~\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\cos\beta}=\frac{\tg\beta}{\tg\alpha+\tg\gamma}.
Обозначим
\tg\beta+\tg\gamma=x,~\tg\alpha+\tg\gamma=y,~\tg\alpha+\tg\beta=z.
Тогда
\tg\alpha=\frac{y+z-x}{2},~\tg\beta=\frac{x+z-y}{2},~\tg\alpha=\frac{x+y-z}{2}.
Следовательно,
\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\gamma}+\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\cos\beta}=
\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=
=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)=
=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right)\geqslant
\geqslant\frac{1}{2}(2+2+2-3)=\frac{3}{2}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z
, т. е. при \tg\alpha=\tg\beta=\tg\gamma
, т. е. тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.