13978. Дан отрезок BC
. Найдите геометрическое место точек A
, для которых точка G
пересечения медиан треугольника ABC
удовлетворяет условиям \angle GAB=\angle GBC
и \angle GAC=\angle GCB
.
Ответ. Окружность без двух точек.
Решение. Пусть D
— середина отрезка BC
.
Заметим, что достаточно одного из двух равенств из условия задачи. Если, например, \angle GAB=\angle GBC
, то треугольники GBD
и BAD
с общим углом при вершине D
подобны по двум углам, поэтому \frac{BD}{AD}=\frac{DG}{BD}
. Значит, BD^{2}=AD\cdot DG
, а так как BD=CD
, то CD^{2}=AD\cdot DG
, или \frac{CD}{AD}=\frac{DG}{CD}
. Тогда треугольники GCD
и CAD
с общим углом при вершине D
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle GCB=\angle GCD=\angle DAC=\angle GAC.
Из равенства BD^{2}=DA\cdot DG
, получаем, что \frac{1}{4}BC^{2}=\frac{1}{3}DA^{2}
, или DA=\frac{\sqrt{3}}{2}BC
. Значит, точка A
лежит на окружности с центром в фиксированной точке D
и фиксированным радиусом \frac{\sqrt{3}}{2}BC
.
Обратно, поскольку приведённые выше рассуждения обратимы, каждая точка этой окружности, за исключением B
и C
, удовлетворяет условию \angle GAB=\angle GBC
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2017, № 2, задача 4114, с. 77