13989. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота BD
из вершины прямого угла. Точки P
, Q
и I
— центры вписанных окружностей треугольников ABD
, CBD
и ABC
соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника PIQ
лежит на гипотенузе AC
.
Решение. Пусть описанная окружность треугольника PDQ
вторично пересекает прямую AC
в точке T
. Поскольку DP
и DQ
— биссектрисы смежных углов ADB
и CDB
, сумма которых равна 180^{\circ}
, то \angle PDQ=90^{\circ}
. Кроме того
\angle QDC=\frac{1}{2}\angle BDC=45^{\circ}.
Четырёхугольник PDTQ
вписанный, поэтому
\angle QDT=\angle PTQ=\angle PDQ=90^{\circ},~\angle QPT=\angle QDT=\angle QDC=45^{\circ}.
Значит, треугольник PTQ
прямоугольный и равнобедренный, TP=TQ
.
Заметим, что точки P
и I
лежат на биссектрисе угла A
треугольника ABC
, а точки Q
и I
— на биссектрисе угла C
.
С центром в точке T
проведём окружность \Sigma
через точки P
и Q
. Поскольку
\angle PIQ=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770), а большая дуга окружности \Sigma
равна 360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}
, то точка I
лежит на окружности \Sigma
. Следовательно, точка T
, лежащая на гипотенузе AC
треугольника ABC
, — центр описанной окружности треугольника PIQ
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно доказать, что вписанная окружность треугольника ABC
касается гипотенузы AC
в точке T
.