1399. На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Докажите, что разность расстояний от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны треугольника, равна высоте, опущенной на боковую сторону.
Указание. Через данную точку проведите прямую, параллельную одной из боковых сторон данного треугольника (или примените метод площадей).
Решение. Первый способ. Пусть точка M
лежит на продолжении за точку C
основания BC
равнобедренного треугольника ABC
, P
и Q
— проекции точки M
на прямые AC
и AB
соответственно, CD
— высота треугольника ABC
. Через точку M
проведём прямую, параллельную AB
до пересечения с прямой AC
в точке N
. Тогда треугольник NCM
также равнобедренный. Если CE
— его высота, то точки D
, C
и E
лежат на одной прямой и CE=MP
. Следовательно,
MQ-MP=DE-CE=CD.
Второй способ. Пусть точка M
лежит на продолжении за точку C
основания BC
равнобедренного треугольника ABC
, P
и Q
— проекции точки M
на прямые AC
и AB
соответственно, CD
— высота треугольника ABC
. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABM}-S_{\triangle ACM},
или
\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AB\cdot MQ-\frac{1}{2}AC\cdot MP,
а так как AC=AB
, то из полученного равенства следует, что CD=MQ-MP
.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 611, с. 67
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.59, с. 172