13995. В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC
с основанием BC
проведена высота CD
. Окружность \Gamma_{2}
с центром C
и радиусом CB
пересекает боковую сторону AC
в точке K
, продолжение AC
— в точке Z
, а окружность \Gamma_{1}
с центром B
и радиусом BD
— вторично в точке E
. Докажите, что:
а) \angle ZDE=45^{\circ}
;
б) точки E
, M
и K
лежат на одной прямой;
в) BM\parallel EC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\angle ACB=\gamma
.
а) Вписанный в окружность \Gamma_{2}
угол ZDE
равен половине соответствующего центрального угла ZCE
, т. е.
\angle ZDE=\frac{1}{2}\angle ZCE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACD-2\angle BCD)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-2(90^{\circ}-\gamma))=\frac{1}{2}(\alpha+2\gamma-90^{\circ})=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-90^{\circ})=45^{\circ}.
б) Поскольку точки D
, E
, K
и Z
лежат на окружности \Gamma_{2}
с центром C
, получаем
\angle KED=\angle KZD=\frac{1}{2}\angle KCD=\frac{1}{2}(90^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}(90^{\circ}-(180^{\circ}-2\gamma))=\gamma-45^{\circ},
а так как точки D
, E
и M
лежат на окружности \Gamma_{1}
с центром B
, то
\angle DME=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle DBE)=\frac{1}{2}(360^{\circ}-2\gamma)=180^{\circ}-\gamma.
Тогда
\angle MED=180^{\circ}-\angle EDM-\angle DME=180^{\circ}-\angle ZDE-\angle DME=
=180^{\circ}-45^{\circ}-(180^{\circ}-\gamma)=\gamma-45^{\circ}=\angle KED.
Следовательно, точки E
, M
и K
лежат на одной прямой.
в) Поскольку BD\perp CD
, прямая CD
— касательная к окружности \Gamma_{1}
, поэтому симметричная CD
относительно BC
прямая CE
— тоже касательная к \Gamma_{1}
. Тогда BE\perp CE
. В то же время, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle CEM=\angle MDE=\angle ZDE=45^{\circ}=\angle BEM=\angle BME.
Следовательно, BM\parallel EC
.