13996. Точка D
лежит на боковой стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
с основанием BC
, причём CD=2AD
. На отрезке AD
отмечена точка P
, для которой PA\perp PC
. Докажите, что \frac{BP}{PD}=\frac{3BC^{2}}{4AC^{2}}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AB=AC=b
, BD=d
, \angle BAC=\alpha
.
По теореме косинусов
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\alpha=
=b^{2}+\frac{b^{2}}{9}-2\cdot b\cdot\frac{b}{3}\cdot\frac{2b^{2}-a^{2}}{2b^{2}}=\frac{1}{9}(4b^{2}+3a^{2}),
или
9d^{2}-4b^{2}=3a^{2}.
Пусть M
— середина основания BC
. Отрезок AC
виден из точек P
и M
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \Gamma
с диаметром AC
.
Проведём хорду AQ
окружности \Gamma
. Тогда AQCM
— прямоугольник, вписанный в окружность \Gamma
, поэтому
AQ=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.
Докажем, что точки B
, D
и Q
лежат на одной прямой. Действительно, треугольники DAQ
и DCB
подобны, так как
\angle DAQ=\angle DCB~\mbox{и}~\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}=\frac{AQ}{CB},
поэтому \angle BDC=\angle QDA
. Следовательно, точки B
, D
и Q
лежат на одной прямой. При этом
DQ=\frac{1}{2}BD=\frac{d}{2}.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд
PD\cdot DQ=AD\cdot DC~\Rightarrow~PD=\frac{AD\cdot DC}{DQ}=\frac{\frac{b}{3}\cdot\frac{2b}{3}}{\frac{d}{2}}=\frac{4b^{2}}{9d}.
Значит,
BP=BD-PD=d-\frac{4b^{2}}{9d}=\frac{9d^{2}-4b^{2}}{9d}=\frac{3a^{2}}{9d}.
Следовательно,
\frac{BP}{PD}=\frac{\frac{3a^{2}}{9d}}{\frac{4b^{2}}{9d}}=\frac{3a^{2}}{4b^{2}}=\frac{3BC^{2}}{4AC^{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2018, № 10, задача 4294, с. 430