13999. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке D
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке S
. Точки K
и L
— центры вписанных окружностей треугольников DSB
и DSC
соответственно. Точка P
симметрична I
относительно прямой KL
. Докажите, что PB\perp CP
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACB=\gamma
.
Заметим, что SB=SI=SC
(см. задачу 788). Тогда, так как BK
и DK
— биссектрисы углов треугольника BSD
, то (см. задачу 4770)
\angle BKD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BSD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BSA=
=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=\angle AIB=180^{\circ}-\angle BID.
Значит, четырёхугольник BKDI
вписанный. Аналогично, четырёхугольник CLDI
вписанный.
Поскольку луч SK
— биссектриса угла при вершине S
равнобедренного треугольника BSI
, то KB=KI
, а так как из симметрии KI=KP
, то KP=KI=KP
, т. е. K
— центр описанной окружности треугольника BIP
. Аналогично, L
— центр описанной окружности треугольника CIP
.
Следовательно,
\angle BPC=\angle BPI+\angle CPI=\frac{1}{2}\angle BKI+\frac{1}{2}\angle CLI=\frac{1}{2}(\angle BKI+\angle CLI)=
=\frac{1}{2}(\angle BDI+\angle CDI)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 3, задача OC369, с. 128
Источник: Польские математические олимпиады. — 2016