14000. Точки F
и K
— середины рёбер AD
и BC
тетраэдра ABCD
, AC=12
, BD=16
, FK=2\sqrt{13}
. Найдите угол между прямыми AC
и BD
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть E
и M
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что FM\parallel AC\parallel EK
и FM=\frac{1}{2}AC=EK
, значит, EFMK
— параллелограмм, а так как KM\parallel BD
, то угол \alpha
между скрещивающимися прямыми AC
и BD
равен углу между пересекающимися прямыми FM
и MK
, т. е. углу FMK
или смежному с ним углу.
По теореме косинусов
\cos\angle FMK=\frac{FM^{2}+MK^{2}-FK^{2}}{2FM\cdot MK}=\frac{6^{2}+8^{2}-(2\sqrt{13})^{2}}{2\cdot6\cdot8}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\alpha=\angle FMK=60^{\circ}.