14004. Основание призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Боковые грани призмы, содержащие рёбра AC
и BC
, — квадраты. Найдите угол между прямыми AC_{1}
и CB_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Обозначим AC=a
. Тогда ACC_{1}A_{1}
и BCC_{1}B_{1}
— квадраты со стороной a
, а
AC_{1}=CB_{1}=A_{1}B_{1}=a\sqrt{2}.
На продолжении ребра A_{1}C_{1}
за точку C_{1}
отложим отрезок C_{1}P=A_{1}C_{1}
. Тогда ACPC_{1}
— параллелограмм, поэтому CP\parallel AC_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AC_{1}
и CB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CP
и CB_{1}
, т. е. углу PCB_{1}
или смежному с ним углу.
Поскольку CP=AC_{1}=CB_{1}=a\sqrt{2}
, треугольник PCB_{1}
равнобедренный. Треугольник A_{1}B_{1}P
тоже равнобедренный, так как его медиана B_{1}C_{1}
является высотой (\angle A_{1}C_{1}B=\angle ACB=90^{\circ})
. Тогда
PB_{1}=CB_{1}=CP=a\sqrt{2}.
Значит, треугольник PCB_{1}
равносторонний. Следовательно, \angle PCB_{1}=60^{\circ}
.