14007. Докажите, что если в правильной четырёхугольной призме ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагонали B_{1}D
и BD_{1}
перпендикулярны, то диагонали A_{1}C
и B_{1}D
образуют угол в 60^{\circ}
.
Решение. Пусть сторона основания ABCD
призмы равна a
. Сечение призмы плоскостью BB_{1}D_{1}D
— прямоугольник, диагонали B_{1}D
и BD_{1}
которого перпендикулярны. Значит, это квадрат. Его стороны равны диагонали BD
квадрата ABCD
со стороной a
, т. е. a\sqrt{2}
. Тогда диагональ B_{1}D
квадрата BB_{1}D_{1}D
равна 2a
. Диагонали прямоугольника CDA_{1}B_{1}
равны и делятся точкой O
пересечения пополам, значит, OC=OD=a=CD
. Треугольник COD
равносторонний, поэтому \angle COD=60^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Потоскуев Е. В., Звавич Л. И. Геометрия. 11 класс: Задачник для общеобразовательных учебных заведений с углублённым и профильным изучением математики. — 2-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — № 2.027, с. 33