14016. Докажите, что если в правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60^{\circ}
, то двугранный угол при боковом ребре вдвое больше двугранного угла между боковой гранью и плоскостью основания.
Решение. Пусть плоский угол при вершине S
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
равен 60^{\circ}
. Значит, боковые грани этой пирамиды — равные равносторонние треугольники, а все восемь рёбер равны.
Пусть O
— центр основания ABC
. Соединим точки A
и C
серединой K
ребра SB
, а точки S
и O
— серединой M
ребра AD
. Тогда AKC
— линейный угол двугранного угла пирамиды при боковом ребре SB
, а OMS
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AD
. Обозначим \angle AKC=\gamma
и \angle SMO=\beta
.
Отрезок OK
— средняя линия треугольника BSD
, поэтому OK=\frac{1}{2}SD
. Отрезок OK
— медиана, а значит, высота и биссектриса равнобедренного треугольника AKC
, поэтому \angle AKO=\frac{\gamma}{2}
.
Отрезок OM
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому
OM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}SD=OK,
а так как CM=AK
как высоты равных равносторонних треугольников, то прямоугольные треугольники AKO
и SMO
равны по двум катетам. Значит, \angle AKO=\angle SMO
, т. е. \frac{\gamma}{2}=\beta
. Что и требовалось доказать.