14027. Высота правильной пирамиды равна h
, а радиус вписанной в её основание окружности равен r
. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.
Ответ. \frac{r(\sqrt{r^{2}+h^{2}}-r)}{h}
.
Решение. Пусть S
— вершина правильной пирамиды, SH
— высота, SA
— боковое ребро, M
— середина стороны AB
основания, O
— центр вписанной в пирамиду сферы радиуса \rho
, K
— точка касания сферы с апофемой SM
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SHM
, в котором точка O
, лежащая на катете SH
, — центр окружности радиуса \rho
, касающейся гипотенузы SM
в точке K
, а прямой HM
— в точке H
. По теореме Пифагора
SM=\sqrt{HM^{2}+SH^{2}}=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
Прямоугольные треугольники SKO
и SHM
подобны, поэтому \frac{OQ}{SO}=\frac{HM}{SM}
, или
\frac{\rho}{h-\rho}=\frac{r}{\sqrt{r^{2}+h^{2}}}~\Rightarrow~x^{2}(r^{2}+h^{2})=r^{2}(h-\rho)^{2}~\Rightarrow~h^{2}\rho^{2}+2r^{2}h\rho-r^{2}h^{2}=0.
Учитывая, что \rho\gt0
, из последнего уравнения получаем
\rho=\frac{r(\sqrt{r^{2}+h^{2}}-r)}{h}.