14028. Один из двух шаров вписан конус, а второй касается первого, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите отношение радиусов первого и второго шаров, если образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 2\arcsin\frac{1}{3}
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Пусть S
— вершина конуса, O_{1}
и O_{2}
— центры соответственно первого и второго шаров радиусов R
и r
, H
и P
— точки их касания с плоскостью основания конуса. Тогда прямые O_{1}H
и O_{2}P
перпендикулярны к плоскости основания конуса, а значит, параллельны. При этом точка O_{1}
лежит на высоте SH
конуса.
Рассмотрим сечение конуса и шаров плоскостью, проведённой через параллельные прямые SH
и O_{2}P
, т. е. равнобедренный треугольник, вписанный в него круг радиуса R
, а также круг радиуса r
, вписанный в угол при основании этого равнобедренного треугольника и касающийся круга радиуса R
.
Пусть угол образующей конуса с плоскостью основания равен \alpha
. Поскольку \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}
, то \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}
.
Линия центров касающихся шаров проходит через их точку касания, поэтому O_{1}O_{2}=r+R
. Кроме того HP=2\sqrt{rR}
(см. задачу 365), а так как HP
— проекция отрезка O_{1}O_{2}
на основание равнобедренного треугольника сечения, и точки O_{1}
и O_{2}
лежат на биссектрисе угла при основании, равного \alpha
, то
HP=O_{1}O_{2}\cos\frac{\alpha}{2},~\mbox{или}~2\sqrt{rR}=(r+R)\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}~\Leftrightarrow~.
\Leftrightarrow~rR=\frac{2}{9}(r+R)^{2}\Leftrightarrow~2R^{2}-5rR+2r^{2}=0\Leftrightarrow~\left(\frac{R}{r}\right)^{2}-5\cdot\frac{R}{r}+2=0,
а так как R\gt r
, из последнего уравнения находим, что \frac{R}{r}=2
.