14030. В шар радиуса 13 вписан цилиндр с высотой 4. Второй цилиндр расположен так, что ровно одна из его образующих является хордой шара, а другая лежит на диаметре основания первого цилиндра. Найдите радиус основания второго цилиндра, если его осевое сечение — квадрат.
Ответ. 5 или 6,6.
Решение. Пусть KN
— единственная образующая второго цилиндра, являющаяся хордой шара, а ML
— образующая второго цилиндра, лежащая на диаметре AD
окружности основания первого. Перпендикуляр, опущенный из центра O
шара на плоскость этого основания — центр окружности основания цилиндра, значит плоскость этого основания касается боковой поверхности второго цилиндра, а ML
— единственная образующая второго цилиндра, лежащая в плоскости основания первого.
Сечение сферической поверхности и обоих цилиндров плоскостью параллельных прямых AD
и KN
— окружность радиуса 13, вписанный в неё прямоугольник ABCD
(осевое сечение первого цилиндра) и квадрат KLMN
— осевое сечение второго цилиндра. Расстояния от точки O
до плоскостей оснований первого цилиндра равны 2. При этом возможны два случая: точка O
лежит вне (рис. 1) или внутри (рис. 2) квадрата KLMN
.
Пусть сторона квадрата равна 2r
, где r
— искомый радиус второго цилиндра. Опустим перпендикуляр OP
на хорду KN
. Тогда P
— середина KN
. В первом случае OP=2r+2
, во втором OP=2r-2
. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OPN
, в первом случае получаем уравнение
(2r+2)^{2}+r^{2}=13^{2},~\mbox{или}~5r^{2}+8r-165=0,
Откуда r=5
. Во втором случае уравнение имеет вид
(2r-2)^{2}+r^{2}=13^{2},~\mbox{или}~5r^{2}-8r-165=0,
Откуда r=6{,}6
.