14031. В куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
помещены две равные, касающиеся друг друга внешним образом сферы. Первая сфера касается всех граней куба, содержащих вершину A
, вторая касается всех рёбер куба содержащих вершину C_{1}
. Найдите радиусы этих сфер если диагональ куба равна d
.
Ответ. \frac{d\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}}
.
Решение. Центр O_{1}
первой сферы равноудалён от граней куба, содержащих вершину A
, а центр O_{2}
второй сферы равноудалён от рёбер куба, исходящих из вершины C_{1}
, поэтому оба центра расположены на диагонали AC_{1}
куба.
Пусть ребро куба равно a
, \angle CAC_{1}=\alpha
, \angle AB_{1}C_{1}=\beta
. Из прямоугольных треугольников ACC_{1}
и AB_{1}C_{1}
находим, что
\sin\alpha=\frac{CC_{1}}{AC_{1}}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},~\sin\beta=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Пусть первая сфера касается диагонали AC
грани ABCD
в точке P
, вторая — отрезка C_{1}B_{1}
в точке Q
, а радиусы сфер равны R
. Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и C_{1}QO_{2}
находим, что
AO_{1}=\frac{O_{1}P}{\sin\alpha}=\frac{R}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=R\sqrt{3},~C_{1}O_{2}=\frac{O_{2}Q}{\sin\beta}=\frac{R}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Линия центров касающихся сфер проходит через их точку касания, поэтому
d=a\sqrt{3}=AC_{1}=AO_{1}+O_{1}O_{2}+O_{2}C_{1}=R\sqrt{3}+2R+\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=
=R\left(\sqrt{3}+2+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right),
откуда
R=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{d}{2+\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{d\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{3}}.