14037. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Выразите вектор \overrightarrow{AA_{1}}
через векторы \overrightarrow{B_{1}A}
, \overrightarrow{B_{1}C}
и \overrightarrow{B_{1}D}
.
Ответ. \overrightarrow{AA_{1}}=-\overrightarrow{B_{1}A}-\overrightarrow{B_{1}C}+\overrightarrow{B_{1}D}
.
Решение. Пусть точки A'
и D'
симметричны вершинам соответственно A
и D
относительно середины ребра A_{1}B_{1}
данного параллелепипеда. Тогда BCA'D'
и DB_{1}D'A_{1}
— параллелограммы с центрами B_{1}
и M
соответственно, поэтому
\overrightarrow{B_{1}D'}=-\overrightarrow{B_{1}C},~\overrightarrow{D'A_{1}}=\overrightarrow{B_{1}D}.
Следовательно,
\overrightarrow{AA_{1}}=\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}D'}+\overrightarrow{D'A_{1}}=-\overrightarrow{B_{1}A}-\overrightarrow{B_{1}C}+\overrightarrow{B_{1}D}.