14038. Даны параллелограммы ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Докажите, что середины отрезков AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
являются вершинами параллелограмма или лежат на одной прямой.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
середины отрезков соответственно AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
. Тогда (см. задачу 4504)
\overrightarrow{KN}=\frac{1}{2}(AD+A_{1}D_{1})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B_{1}C_{1}})=\overrightarrow{LM},
т. е. KN\parallel LM
и KN=LM
. Следовательно, точки K
, L
, M
и N
либо являются вершинами параллелограмма, либо лежат на одной прямой.