14045. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Проведена плоскость \alpha
, параллельная прямым BD_{1}
и B_{1}C
. Найдите угол между плоскостями \alpha
и ABC
.
Ответ. \arccos\frac{1}{\sqrt{6}}=\arctg\sqrt{5}
.
Решение. Первый способ. Пусть ребро куба равно 1, а M
и N
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и CD
соответственно. Тогда MNCB_{1}
— параллелограмм, поэтому MN\parallel B_{1}C
. Кроме того, BMD_{1}N
— тоже параллелограмм, поэтому его диагональ MN
проходит через середину диагонали BD_{1}
, т. е. через центр куба. Таким образом, плоскость этого параллелограмм параллельна плоскости \alpha
, о которой говорится в условии. Значит, задача сводится к вычислению угла между плоскостью параллелограмма BMD_{1}N
и плоскостью ABC
.
Пусть K
— середина ребра AB
, а KP
— высота прямоугольного треугольника BKN
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что KPM
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями BMD_{1}N
и ABC
. Обозначим \angle KPM=\varphi
.
Из прямоугольных треугольников BKN
и MKP
находим, что
BN=\sqrt{BK^{2}+KN^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2},~KP=\frac{BK\cdot KN}{BN}=\frac{\frac{1}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
\tg\varphi=\tg\angle KPM=\frac{KM}{KP}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}.
Следовательно,
\varphi=\arctg\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}.
Второй способ. Выберем систему координат Bxyz
, взяв за начало вершину B
и направив ось Bx
по лучу BC
, ось By
— по лучу BA
, ось Bz
— по лучу BB_{1}
. Пусть ребро куба равно 1. Тогда нужные нам точки и векторы имеют следующие координаты: B(0;0;0)
, D_{1}(1;1;1)
, C(1;0;0)
, B_{1}(0;0;1)
и
\overrightarrow{BD_{1}}=(1-0;1-0;1-0)=(1;1;1),~\overrightarrow{CB_{1}}=(0-1;0-0;1-0)=(-1;0;1).
Пусть \overrightarrow{n}=(a;b;c)
— вектор нормали плоскости \alpha
. Тогда \overrightarrow{BD_{1}}\perp\overrightarrow{n}
и \overrightarrow{CB_{1}}\perp\overrightarrow{n}
, т. е.
\syst{a+b+c=0\a+c=0.\\}
Этим условиям удовлетворяют, например, числа a=c=1
, b=-2
. Следовательно, в качестве вектора нормали плоскости \alpha
можно взять вектор \overrightarrow{n}=(1;-2;1)
. В качестве вектора нормали плоскости ABC
возьмём вектор \overrightarrow{BB_{1}}=(0;0;1)
.
Пусть угол между плоскостями \alpha
и ABC
равен \varphi
. Тогда косинус этого угла равен модулю косинуса угла между векторами \overrightarrow{BB_{1}}
и \overrightarrow{n}
, т. е.
\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BB_{1}}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BB_{1}}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|0\cdot1+0\cdot(-2)+1\cdot1|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}\cdot1}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Следовательно,
\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{6}}=\arccos\frac{\sqrt{6}}{6}.