1405. Докажите, что площадь треугольника, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади параллелограмма.
Решение. Пусть вершины A
и B
треугольника ABC
лежат на стороне PQ
параллелограмма PQRS
(рис. 1). Тогда AB\leqslant PQ
, а высота h_{c}
треугольника, проведённая из вершины C
, не превосходит высоты h
параллелограмма, опущенной на сторону PQ
. Поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{c}\leqslant\frac{1}{2}PQ\cdot h=\frac{1}{2}S_{PQRS}.
Пусть теперь никакие две вершины треугольника ABC
не лежат на одной стороне параллелограмма (рис. 2). Тогда какие-то две вершины треугольника (например, A
и B
) лежат на противоположных сторонах (например, на PS
и QR
) параллелограмма.
Через вершину C
треугольника, лежащую на стороне SR
параллелограмма, проведём прямую, параллельную PS
. Пусть она пересекает отрезки AB
и PQ
в точках M
и N
соответственно. Тогда по ранее доказанному
S_{\triangle ACM}\leqslant\frac{1}{2}S_{PSCN},~S_{\triangle BCM}\leqslant\frac{1}{2}S_{CRQN}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACM}+S_{\triangle BCM}\leqslant\frac{1}{2}S_{PSCN}+\frac{1}{2}S_{CRQN}=\frac{1}{2}S_{PQRS}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 66, с. 20
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1915, задача 3
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.53, с. 232
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.56, с. 226