14055. Через вершины B
, D
и C_{1}
правильной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60^{\circ}
. Расстояние от точки C
до проведённой плоскости равно 3\sqrt{3}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 128\sqrt{3}
.
Решение. Пусть искомый объём призмы равен V
, O
— центр квадрата ABCD
. Тогда CO\perp AB
, а так как CO
— ортогональная проекция наклонной C_{1}O
на плоскость основания ABCD
, то по теореме о трёх перпендикулярах C_{1}O\perp AB
. Значит, COC_{1}
— линейный угол данного двугранного угла, т. е. \angle COC_{1}=60^{\circ}
.
Опустим перпендикуляр CH
на высоту C_{1}O
равнобедренного треугольника BC_{1}D
. Тогда CH
— перпендикуляр к плоскости BC_{1}D
, поэтому CH=2\sqrt{3}
, а так как \angle C_{1}CH=\angle COC_{1}=60^{\circ}
, то
CC_{1}=2CH=4\sqrt{3},~CO=CC_{1}\cdot\ctg60^{\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4.
Тогда BC=CO\sqrt{2}=4\sqrt{2}
. Следовательно,
V=S_{ABCD}\cdot CC_{1}=BC^{2}\cdot CC_{1}=(4\sqrt{2})^{2}\cdot4\sqrt{3}=128\sqrt{3}.
Источник: Мерзляк А. Г., Номировский В. М., Поляков В. М. Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 18.24, с. 175