14059. Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один — со стороной, не большей 1, а другой — со стороной, не меньшей 100?
Ответ. Может.
Решение. Рассмотрим ромб ABCD
со стороной 200, в который можно вписать квадрат 1\times1
со сторонами, параллельными диагоналям ромба (такой ромб, очевидно, существует). Построим прямую призму ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
, боковые грани которой — квадраты. Тетраэдр AB'D'C
по построению имеет в горизонтальном сечении квадрат 1\times1
. С другой стороны, AB'\parallel DC'\perp CD'
и AB'=CD'\gt200
, поэтому сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер и параллельной AB'
и CD'
, — квадрат со стороной, равной \frac{1}{2}AB'\gt100
.