1406. Две вершины квадрата расположены на основании равнобедренного треугольника, а две другие — на его боковых сторонах. Найдите сторону квадрата, если основание треугольника равно a
, а угол при основании равен 30^{\circ}
.
Ответ. \frac{a}{2\sqrt{3}+1}=\frac{a(2\sqrt{3}-1)}{11}
.
Решение. Пусть вершины M
и N
квадрата MNKL
находятся соответственно на боковых сторонах AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
, а вершины K
и L
— на основании AC=a
. Обозначим через x
сторону квадрата.
Из прямоугольных треугольников AML
и CNK
находим, что
AL=KC=KN\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3}.
Поскольку AC=AL+LK+KC
, имеем уравнение
a=x\sqrt{3}+x+x\sqrt{3},
откуда находим, что
x=\frac{a}{2\sqrt{3}+1}=\frac{a(2\sqrt{3}-1)}{11}.