14060. Сфера с центром O
вписана в трёхгранный угол с вершиной S
и касается его граней в точках K
, L
, M
(все плоские углы трёхгранного угла различны). Найдите угол KSO
и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью KLM
, если известно, что площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой SO
, равны 1 и 4.
Ответ. \arcsin\frac{1}{3}
; \frac{16}{9}
.
Решение. Обозначим точки пересечения прямой SO
со сферой через P
и Q
(точка P
лежит на отрезке SO
, а Q
— вне его). Рассмотрим сечение трёхгранного угла и сферы плоскостью SKO
(рис. 1). Пусть радиус сферы равен r
. Треугольник OKS
и аналогичные треугольники OLS
и OMS
прямоугольные (углы при вершинах K
, L
, M
прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе (OK=OL=OM=r
, SO
— общая), следовательно,
\angle KSO=\angle LSO=\angle MSO.
Пусть \angle KSO=\alpha
, SO=x
. Высоты, опущенные из точек K
, L
, M
на гипотенузу SO
, равны, а их основания — одна и та же точка H
, лежащая в плоскости KLM
. Назовём эту плоскость \varphi
. Пусть \beta
и \gamma
— касательные плоскости к сфере, проходящие через точки P
и Q
, а E
и F
— точки пересечения этих плоскостей с прямой SK
. По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно S_{1}=1
и S_{2}=4
. Поскольку SH\perp HK
и SH\perp HL
, то \varphi\perp SH
. Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями \varphi
, \beta
и \gamma
— подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны SO
).
Если \Sigma
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью KLM
, то из подобия имеем
\Sigma:S_{1}:S_{2}=KH^{2}:EP^{2}:FQ^{2}.
Следовательно, \frac{EP}{FQ}=\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}}=\frac{1}{2}
. Тогда
\frac{\sqrt{S_{1}}}{\sqrt{S_{2}}}=\frac{SP}{SQ}=\frac{x-r}{x+r}=\frac{1}{2},~x+r=2x-2r,~3r=x,
откуда
\angle KSO=\frac{OK}{SO}=\frac{r}{x}=\frac{1}{3}.
Поскольку \angle OKH=\angle KSO=\alpha
, то
OH=OK\sin\alpha=r\sin\alpha,~SO=\frac{OK}{\sin\alpha},
SH=SO-OH=\frac{r}{\sin\alpha}-r\sin\alpha,~SP=SO-OP=\frac{r}{\sin\alpha}-r.
Значит,
\frac{\Sigma}{S_{1}}=\frac{KH^{2}}{EP^{2}}=\frac{SH^{2}}{SP^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{\sin\alpha}-\sin\alpha\right)^{2}}{\left(\frac{1}{\sin\alpha}-1\right)^{2}}=(1+\sin\alpha)^{2}=\frac{16}{9},
откуда \Sigma=\frac{16}{9}S_{1}=\frac{9}{16}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2020, 11 класс, вариант 1, задача № 4
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 11-12, с. 41