14076. В пространстве заданы четыре точки: A
, B
, C
и D
. Требуется провести плоскость \alpha
так, чтобы точки A
и C
оказались по одну сторону от неё, а точки B
и D
— по другую, и расстояния от всех четырёх точек A
, B
, C
и D
до плоскости \alpha
были бы равны.
Решение. Предположим, данные четыре точки не лежат в одной плоскости. Тогда плоскость, проведённая через середины K
, L
и M
отрезков соответственно AB
, BC
и CD
, проходит через середину N
отрезка AD
. Действительно, так как KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, то KL\parallel AC\parallel MN
, значит, прямые KL
и MN
лежат в одной плоскости. При этом все четыре данные точки равноудалены от этой плоскости. Следовательно, проведённая плоскость удовлетворяет условию задачи.
Точки K
, L
и M
не лежат на одной прямой, так как в противном случае прямые AC
и BD
, соответственно параллельные KL
и LM
, были бы параллельны, а значит, лежали бы в одной плоскости, что противоречит предположению. Таким образом, проведённая плоскость KLM
единственна.
Пусть точки A
, B
, C
и D
лежат в одной плоскости. Если при этом точки K
, L
и M
лежат на одной прямой, то на этой же прямой лежит и точка N
, а прямые AC
и BD
параллельны. Тогда любая плоскость, проходящая через эту прямую и отличная от плоскости точек A
, B
, C
и D
, удовлетворяет условию задачи. Если же точки K
, L
и M
не лежат на одной прямой, то плоскость, равноудалённая от данных четырёх точек, проходила бы через середины K
, L
, M
и N
, а значит, совпала бы с плоскостью точек A
, B
, C
и D
, которая не удовлетворяет условию задачи (например, точки A
и B
в этом случае не лежат по разные стороны от этой плоскости). Следовательно, в этом случае задача не имеет решений.