14078. Пусть в некотором шаре заданы три попарно перпендикулярные хорды AB
, CD
и EF
, пересекающиеся внутри шара в точке P
. Найдите радиус шара, если известно, что
AP=2a,~BP=2b,~CP=2c,~DP=2d,~EP=2e,~FP=2f.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-2ef}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что b\geqslant a
, d\geqslant c
, f\geqslant e
. Пусть O
— центр шара, а радиус шара равно R
. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке P
, направив ось Px
по лучу PB
, ось Py
— по лучу PD
, ось Pz
— по лучу PF
. Тогда координаты точки O
— (b-a;d-c;f-e)
, а координаты точки A
— (-2a;0;0)
. Учитывая, что ab=cd=ef
, получим
R^{2}=OB^{2}=(b-a+2a)^{2}+(d-c-0)^{2}+(f-e-0)^{2}=
=(b+a)^{2}+(d-c)^{2}+(f-e)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+c^{3}-2cd+d^{2}+e^{2}-2ef+f^{2}=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-2ef.
Следовательно,
R=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-2ef}.