14083. В тетраэдре ABCD
из вершины A
опустили перпендикуляры AB'
, AC'
, AD'
на плоскости, делящие двугранные углы при рёбрах CD
, BD
, BC
пополам. Докажите, что плоскость B'C'D'
параллельна плоскости BCD
.
Решение. Продолжим отрезок AB'
до пересечения с плоскостью BCD
в точке B''
. Плоскости BCD
и ACD
симметричны относительно биссекторной плоскости, поэтому B'B''=AB'
. Аналогично по точкам C'
и D'
строим точки C''
и D''
. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{1}{2}
плоскость B''C''D''
, т. е. плоскость BCD
, переходит в плоскость B'C'D'
. Следовательно, B'C'D'
параллельна плоскости BCD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бадзян А. И.
Источник: Журнал «Квант». — 2006, № 5, с. 15, М2012; 2007, № 2, с. 15, М2012