14086. Все вершины правильной четырёхугольной призмы лежат на поверхности тетраэдра ABCD
, рёбра которого равны 2. При этом AB
и CD
параллельны рёбрам основания призмы. Найдите высоту призмы, если известно, что она в два раза короче каждого из рёбер основания призмы.
Ответ. \frac{4-\sqrt{2}}{7}
.
Решение. Пусть плоскость боковой грани PSS'P'
призмы PQRSP'Q'R'S'
с основанием PQRS
пересекает рёбра AB
, BC
и BD
тетраэдра в точках K
, M
и N
соответственно, PS=2a
, \frac{MN}{CD}=k
. Тогда высота PP'
призмы равна a
.
Прямоугольник PSS'P'
со сторонами PS=2a
и PP'=a
вписан в равнобедренный треугольник KMN
с основанием MN=kCD=2k
. Пусть E
, F
и L
— середины отрезков AB
, CD
и MN
соответственно. Тогда
CE=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},~EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2},
KL=kEF=k\sqrt{2}.
Треугольник KS'P'
подобен KMN
, поэтому отношение их оснований равно отношению проведённых к ним высот, т. е.
\frac{2a}{2k}={k\sqrt{2}-2a}{k\sqrt{2}}~\Rightarrow~k=\frac{a(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}.
Треугольник BMK
подобен треугольнику BCE
с коэффициентом k
, поэтому
a=\frac{1}{2}QP=KE=BE(1-k)=1-k~\Rightarrow~k=1-a.
Из уравнения
\frac{a(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}}=1-a
находим, что a=\frac{4-\sqrt{2}}{7}
.