14109. В основании четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит ромб ABCD
, в котором AC=4
и \angle DBC=30^{\circ}
. Сфера проходит через вершины D
, A
, B
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки B
, C
и D
.
б) Найдите угол A_{1}CD
.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 5. Найдите объём призмы.
Ответ. а) 16\pi
; б) 90^{\circ}
; в) 48\sqrt{3}
.
Решение. а) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому острый угол ромба равен 60^{\circ}
. В сечении шара плоскостью получаем круг, описанный около треугольника ABD
. Центр этого круга — точка C
, а его радиус равен стороне ромба, т. е. 4. Значит, площадь равна 16\pi
.
б) Опустим из центра O
шара перпендикуляр OH
на плоскость ABCD
. Тогда треугольники OHA
, OHB
и OHD
равны по катету и гипотенузе (OH
— общий катет, OA=OB=OD
как радиусы сферы). Значит, HA=HB=HD
, поэтому H
— центр окружности, описанной около треугольника ABD
, т. е. точка H
совпадает с C
. Таким образом, отрезок OC
перпендикулярен плоскости основания призмы. Аналогично доказывается, что отрезок OA_{1}
перпендикулярен плоскости основания призмы. Итак, диагональ A_{1}C
— высота призмы, а центр O
сферы — это её середина. Значит, \angle A_{1}CD=90^{\circ}
.
в) Пусть объём призмы равен V
, а площадь основания равна S
. В прямоугольном треугольнике AOC
известны гипотенуза OA=5
и катет AC=4
. Значит, CO=3
, A_{1}C=2CO=6
. Следовательно,
V=S\cdot A_{1}C=2S_{ABC}\cdot A_{1}C=2\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot A_{1}C=2\cdot\frac{16\sqrt{3}}{4}\cdot6=48\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, 11 класс, билет 5, задача 7