14110. В основании четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит ромб ABCD
, в котором CD=3
и \angle ABD=30^{\circ}
. Сфера проходит через вершины D
, C
, B
, B_{1}
, A_{1}
, D_{1}
.
а) Найдите площадь круга, полученного в сечении сферы плоскостью, проходящей через точки A
, C
и D
.
б) Найдите угол A_{1}CD
.
в) Пусть дополнительно известно, что радиус сферы равен 6. Найдите объём призмы.
Ответ. а) 9\pi
; б) 90^{\circ}
; в) 81
.
Решение. а) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому острый угол ромба равен 60^{\circ}
. В сечении шара плоскостью получаем круг, описанный около треугольника BCD
. Центр этого круга — точка A
, а его радиус равен стороне ромба, т. е. 3. Значит, площадь равна 9\pi
.
б) Опустим из центра O
шара перпендикуляр OH
на плоскость ABCD
. Тогда треугольники OHC
, OHB
и OHD
равны по катету и гипотенузе (OH
— общий катет, OC=OB=OD
как радиусы сферы). Значит, HC=HB=HD
, поэтому H
— центр окружности, описанной около треугольника CBD
, т. е. точка H
совпадает с A
. Таким образом, отрезок OA
перпендикулярен плоскости основания призмы. Аналогично доказывается, что отрезок OC_{1}
перпендикулярен плоскости основания призмы. Итак, диагональ AC_{1}
— высота призмы, а центр O
сферы — это её середина. Значит, \angle C_{1}AB=90^{\circ}
.
в) Пусть объём призмы равен V
, а площадь основания равна S
. В прямоугольном треугольнике AOC
известны гипотенуза CO=6
и катет AC=3
. Значит, AO=3\sqrt{3}
, C_{1}A=6\sqrt{3}
. Следовательно,
V=S\cdot A_{1}C=2S_{ABC}\cdot AC_{1}=2\cdot\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot AC_{1}=2\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3}=81.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, 11 класс, билет 6, задача 7