14113. Даны пирамида ABCD
и сфера радиуса 3. Ребро AB
пирамиды — диаметр сферы; прямые, содержащие три других ребра, касаются сферы, а середины двух оставшихся рёбер лежат на сфере. Найдите угол ACB
, длину ребра CD
и объём пирамиды ABCD
.
Ответ. \angle ACB=45^{\circ}
, CD=12
, V=18\sqrt{3}
.
Решение. Предположим, что сфера касается прямых AC
и AD
. Тогда AB
перпендикулярно плоскости ACD
, поэтому сфера имеет единственную общую точку A
с плоскостью ACD
, и значит, не имеет общих точек с ребром CD
, что противоречит условию (прямая CD
должна иметь со сферой хотя бы одну общую точку). Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно рёбер BC
и BD
.
Из четырёх рёбер AC
, AD
, BC
, BD
по крайней мере одно должно касаться сферы. Пусть, для определённости, это ребро AD
. Тогда из оставшихся пяти рёбер сфера не может касаться AB
, AC
и BD
(в последнем случае в треугольнике ADB
были бы два прямых угла). Значит, сфера касается рёбер BC
и CD
. Таким образом, сфера касается трёх рёбер AD
, BC
, AD
и проходит через середины K
и L
рёбер AC
и BD
соответственно.
Пусть O
— центр сферы, R=3
— её радиус. Из касания сферы с прямой BC
следует, что AB\perp BC
, а так как OK
— средняя линия треугольника ABC
, то
BC=2OK=2R=AB,
откуда следует, что ABC
— прямоугольный равнобедренный треугольник, и поэтому \angle ACB=45^{\circ}
. Аналогично доказывается, что BAD
— равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой BD
.
Пусть M
— точка касания сферы с ребром CD
. Треугольник CDO
равнобедренный, так как отрезки CO
и DO
— соответствующие медианы равных треугольников BAC
и BAD
. Тогда OM
— его высота, а значит, и медиана. Прямоугольные треугольники COB
и COM
равны по общей гипотенузе OC
и катету (OM=OB=R
), значит, CM=CB=2R
. Следовательно,
CD=2CM=2BC=4R=12.
Пусть DH
— высота пирамиды ABCD
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что точка H
лежит на прямой, проходящей через точку A
параллельно CB
. Обозначим DH=h
, AH=x
.
По теореме Пифагора из треугольника ADH
получаем, что
x^{2}+h^{2}=AH^{2}+DH^{2}=AD^{2}=4R^{2}.
Если точки H
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
, то из прямоугольной трапеции ABCH
получаем
CH^{2}=AB^{2}+(AC-AH)^{2}=4R^{2}+(2R-x)^{2},
поэтому
(4R)^{2}=CD^{2}=DH^{2}+CH^{2}=h^{2}+4R^{2}+(2R-x)^{2},
откуда x=-R
, что невозможно.
Если же точки H
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
, то аналогично
(4R)^{2}=CD^{2}=DH^{2}+CH^{2}=h^{2}+4R^{2}+(2R+x)^{2},
откуда x=R
. Тогда
DH=h=\sqrt{4R^{2}-x^{2}}=R\sqrt{3}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot DH=\frac{1}{6}\cdot2R\cdot2R\cdot R\sqrt{3}=
=\frac{2}{3}R^{3}\sqrt{3}=\frac{2}{3}\cdot3^{3}\sqrt{3}=18\sqrt{3}.