14123. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой BC=2
. Сфера \omega
касается плоскости основания пирамиды и касается всех трёх её боковых рёбер в их серединах. Пусть \Omega
— сфера, описанная около пирамиды SABC
.
а) Найдите расстояние между центрами сфер \omega
и \Omega
.
б) Найдите отношение радиусов сфер \omega
и \Omega
.
в) Пусть дополнительно известно, что \angle SAB=\arccos\frac{\sqrt{3}}{4}
. Найдите объём пирамиды SABC
.
Ответ. а) 0
; б) 1:2
; в) \frac{1}{2}
.
Указание. См. задачи 14121 и 14122.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2013, 11 класс, билет 3, задача 7