14140. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости её основания под углом 45^{\circ}
. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на основании пирамиды, а другие четыре — на её боковых гранях. Найдите отношение объёмов куба и пирамиды.
Ответ. \frac{36\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+5)^{3}}
.
Решение. Пусть сторона основания ABC
правильной пирамиды SABC
равна a
, а ребро куба равно x
. Одна из граней куба (квадрат со стороной x
) вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды, т. е. в равносторонний треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
со стороной b
. При этом одна сторона квадрата лежит на стороне (например, A_{1}B_{1}
) треугольника, а противоположные вершины квадрата — на двух других сторонах (A_{1}C
и A_{1}B
соответственно). Тогда
b=A_{1}B_{1}=\frac{x}{\sqrt{3}}+x+\frac{x}{\sqrt{3}}=x\left(\frac{2}{\sqrt{3}}+1\right),
откуда b=\frac{x(\sqrt{3}+2)}{\sqrt{3}}
.
Плоскость A_{1}B_{1}C_{1}
отсекает от данной пирамиды правильную пирамиду, подобную данной. Высоты эти пирамид равны
\frac{a\sqrt{3}}{3}\tg45^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3}~\mbox{и}~\frac{b\sqrt{3}}{3}\tg45^{\circ},
причём их разность равна ребру куба, т. е.
x=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{b\sqrt{3}}{3},
откуда b=a-x\sqrt{3}
.
Из равенства
\frac{x(\sqrt{3}+2)}{\sqrt{3}}=a-x\sqrt{3}
находим, что x=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+5}
.
Пусть V
— объём пирамиды, а V_{1}
— объём куба. Тогда
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}}{12},~V_{1}=x^{3}=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+5)^{3}}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V}=\frac{\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+5)^{3}}}{\frac{a^{3}}{12}}=\frac{36\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+5)^{3}}.