14147. Внутри куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
расположен центр O
сферы радиуса 10. Сфера пересекает грань AA_{1}D_{1}D
по окружности радиуса 1, грань A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по окружности радиуса 1, грань CDD_{1}C_{1}
по окружности радиуса 3. Найдите отрезок OD_{1}
.
Ответ. 17.
Решение. Пусть \omega
— окружность, которую высекает сфера на грани CDD_{1}C_{1}
. Из точки O
опустим перпендикуляр OX
на эту грань. Тогда точка X
— центр окружности \omega
(точка O
равноудалена от всех точек окружности \omega
, поэтому и проекция X
точки O
на плоскость этой окружности тоже от них равноудалена). Пусть Y
— произвольная точка на окружности \omega
. Треугольник OXY
прямоугольный. По условию XY=3
и OY=10
. По теореме Пифагора получаем, что
OX^{2}=OY^{2}-XY^{2}=10^{2}-3^{2}=91.
Аналогично находим квадраты расстояний от точки O
до плоскостей A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и ADD_{1}A_{1}
. Они будут равны по 10^{2}-1^{2}=99
. Следовательно,
OD_{1}^{2}=91+99+99=289,
а OD_{1}=17
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, школьный этап (дистанционно), Москва, № 6, 11 класс